בנם של ויויאן ושמעון. קובי נולד בירושלים ביום כ"ט באב תשל"ב (9.8.1972), בן למשפחה שלה חמישה ילדים, אח למרדכי, יוסי, אלין ומור.

קובי סיים בית ספר יסודי בירושלים והמשיך לתיכון "קריית נוער" בעיר, אותו סיים בהצלחה. כשהיה קובי כבן תשע נפטר אביו.

קובי התגייס לצה"ל ביום 26.11.1990 ושובץ לחטיבת גולני. אחרי מסלול הלוחם נשלח לקורס קצינים, סיים אותו בהצלחה ושב לחטיבה. לאחר סיום שירות החובה שירת קובי בקבע ארבע שנים. אלוף-משנה דדי, שהיה מפקדו, מעיד: "הוא הקים את הפלוגה המסייעת, תפקיד שחייב מנהיגות, יכולת ביצוע, הבנה של אנשים, והוא עשה את זה בצורה מצוינת … קצין מדהים, אדם מדהים".

תפקידו האחרון של קובי היה מפקד פלוגה, ובשנת 1997 לאחר שבע שנות שירות סדיר וקבע הוא השתחרר מצה"ל בדרגת סרן.

עם שחרורו התגייס קובי למשטרה. בתחילת דרכו במשטרה הקים את יחידת המשמר האזרחי במגדל העמק, אחר כך שובץ כקצין בדרגת פקד ביס"מ (יחידת סיור מיוחדת) של משטרת מרחב העמקים.

במקביל לשירות במשטרה החל קובי ללמוד לתואר ראשון בחוג לכלכלה וניהול במכללה האקדמית עמק יזרעאל. מפקדו במשטרה העיד: "קובי היה מושקע כל כולו בעבודה. הוא היה מ'המורעלים' … כל התרעה הכי קטנה שהיה מקבל, היה עוזב את הלימודים".

בעקבות גל פיגועי מחבלים האינתיפאדה השנייה בתחילת שנת 2002, ולאחר הפיגוע בליל הסדר במלון "פארק" בנתניה, גויסו כוחות רבים וביניהם חטיבת חי"ר חמש בצו שמונה ב-29.3.2002, לקראת מבצע "חומת מגן" שנערך בשטחי יהודה ושומרון. לאחר אימון קצר יצאה החטיבה לפעילות מבצעית בג'נין, שם לחמו אנשיה במשך שמונה יממות.

קובי היה מקציני החטיבה, אך בהיותו קצין משטרה הוא היה פטור משירות מילואים. מרגע שנודע לו אודות הגיוס הוא התקשר למפקד החטיבה ודרש להצטרף, אך נדחה בשל היותו שוטר. הוא לא ויתר, הופיע בשטח הכינוס עם צוותו, קיבל אישור מאנשי השלישות להתגייס ואז צצה בעיה חדשה – לא הייתה לו יחידה אורגנית, ולא היה מקום לשבץ אותו. מעיד מפקד החטיבה: "… אמרתי לו: 'קובי אתה איש יקר, באמת רוח התנדבותית ראויה לציון. אבל סע הביתה, אנשים רוצים קצינים אורגנים'. מאז לא ראיתי אותו, ובזה מבחינתי תם העניין. אחרי שלושה ארבעה ימים אני רואה אותו בג'נין. אני אומר לו: 'קובי, מה אתה עושה פה?' אומר לי: 'דידי, מה אתה חושב, זרקת אותי דרך הדלת אני לא אחזור דרך החלון?' התברר שהוא נסע הביתה, למחרת חזר בחזרה, נכנס עם הכוחות פנימה וחבר על מחלקת הפינוי של אחד הגדודים שלי, מחלקה שהייתה טיפה בעייתית, בנה אותה, נהיה האליל שלהם. הוא איש מאוד כריזמתי כזה …"

בבוקר יום כ"ז בניסן תשס"ב (9.4.2002) נפל קובי בקרב בג'נין. הוא שמע על כוח שנתקל במחבלים בלב מחנה הפליטים ונסע לשם ברכב המשוריין שלו לחלץ נפגעים, אך במהלך החילוץ נהרג.

בצל"ש יחידתי שהעניק אלוף פיקוד המרכז, האלוף יצחק איתן, מתואר הקרב: "במהלך לחימה במחנה הפליטים בג'נין, תוך התקדמות אחד הכוחות לעבר בית, נפתחה אש מכמה כיוונים לעבר הכוח. בקרב שהתפתח נפלו שלושה-עשר מפקדים וחיילים. חיילי הכוח שנתקל, וכוח אחר שהגיע לסייע בפעולה, נלחמו בחירוף נפש לחילוץ חבריהם שנפגעו, עד לחילוצם. למרות הנפגעים המשיכה הפלוגה להילחם, עד לכניעת מחנה הפליטים. על גילוי ערכי הדבקות במשימה, אומץ הלב, הרעות ואחוות הלוחמים, מוענק לפלוגה אות ציון לשבח מטעם אלוף פיקוד המרכז."

עם סרן קובי אזולאי נפלו שנים-עשר חיילים: רב-סרן עודד גולומב, סרן דרור בר, סגן אייל יואל, רב-סמל ראשון טירן ארזי, רב-סמל ראשון אבנר יסקוב, רב-סמל ראשון יורם לוי, רב-סמל רונן אלשוחט, רב-סמל עמית בוסידן, רב-סמל מנשה חבה, רב-סמל שמואל דני מייזליש, רב-סמל אייל עזורי ורב-סמל אייל צימרמן.

קובי היה בן שלושים בנפלו. הוא הובא למנוחות בבית העלמין הצבאי במגדל העמק. הותיר אם, שני אחים ושתי אחיות.

בחודש יוני 2002 קיבלה משפחתו של קובי תעודת ציון לשבח של אלוף הפיקוד שהוענק לו, ובה נכתב: "על מימוש ערכי ההתנדבות לקבלת תפקיד בלחימה, הדוגמה האישית, אומץ הלב בחילוץ פצועים, הרעות ואחוות הלוחמים, על כך מוענק לך אות ציון לשבח מאלוף פיקוד המרכז".

כתב אחד ממפקדיו של קובי: "הדרך שבה הוא נהרג מאפיינת את קובי, עם רוח ההתנדבות, עם העוז והרצון לעזור לאנשים …"

במרכז ללימודי משטרה נערך בתחילת שנת 2012 ערב לזכר קובי בנוכחות בני המשפחה, פיקוד המשטרה, שוטרי יס"מ צפון שעבדו עם קובי וחברים מפלוגת המילואים בה שירת. תמונות מערב הזיכרון הועלו לדף ברשת פייסבוק.

עורכי הערב כתבו: "אנחנו יכולים ללמוד מחייו וממותו כל כך הרבה, ללמוד מהם ערכים ואהבה למדינה, לקחת קצת מרוח ההתנדבות שלו ולהעריץ את הגבורה שלו".

רב-פקד שמעון, שהגיע ליס"מ זמן קצר לאחר נפילת קובי, סיפר: "היה מאוד לא נוח להיכנס ליחידה. ראית שמשהו נשבר, הרגשת שמשהו בתוך האנשים מתפקד אחרת, מדבר אחרת ומתנהג אחרת. קובי היה סמל, מפקד שהקרין על האנשים סביבו. קובי נשאר סמל … החיבור של קובי ליחידה נשאר ויישאר לעולם".

יניב, בן דוד של קובי, העלה לאתר יוטיוב סרט זיכרון בן כארבע-עשרה דקות. בסרט תמונות מתחנות חייו של קובי, תיאור הקרב בג'נין, דברי זיכרון ופרידה ופרטי הנצחות.

בבסיס יחידת המשטרה בה קובי שירת, בסיס יס"מ עמקים ברחוב ויצמן בעפולה, הוקם בית כנסת ונקרא על שמו: "אוהל יעקב". בחזית בית הכנסת יש גן מטופח על שם קובי.

בבניין הסמוך, הבניין המרכזי של היחידה, מונצח קובי בקיר הזיכרון לנופלי היחידה. כן הוצבה אנדרטה לזכרו ברחבת חצץ בכניסה לבניין.

בגן ציבורי ברחוב השיקמה בכפר סבא הוקמה אנדרטה בשם "דמעות גבורה" לזכר שלושה-עשר הנופלים בג'נין וביניהם קובי. האנדרטה הוקמה על ידי משפחת הנופל מנשה חבה, בן כפר סבא.

במגדל העמק הקים יוסי, אחיו של קובי, את עמותת "קול יעקב מגדל העמק ע"ש סרן יעקב אזולאי הי"ד שנפל בקרב במבצע חומת מגן". מטרת העמותה היא הנצחת זכרו ומורשתו של קובי דרך קירוב לבבות, עזרה לנזקקים וגמילות חסדים.

כמו כן, משפחת אזולאי הקימה בית מדרש על שמו של יעקב במגדל העמק שנקרא "קול יעקב" והוכנס ספר-תורה על שמו ושניים-עשר חבריו שנפלו עימו בקרב בג'נין.